სოლომონ კვერკველიამ საფეხბურთო კლუბ “გაგრადან” წავიდა. მხარეებმა კონტრაქტი ურთიერთშეთანხმების საფუძველზე გაწყვიტეს. საქართველოს ეროვნული ნაკრების ცენტრალური მცველი “გაგრას” 8 აპრილს შეუერთდა და კრისტალბეთ ეროვნულ ლიგაში 12-ჯერ ითამაშა.
კვერკველია კარიერის განმავლობაში “გაგრას” გარდა, რუსეთის პრემიერ ლიგაში ყაზანის „რუბინში“, მოსკოვის „ლოკომოტივში“, ვოლგოგრადის “როტორში”, ხოლო უკრაინაში ხარკოვის “მეტალისტში” გამოდიოდა.
მან რუსეთის ჩემპიონატში და თასზე 200-ზე მეტი მატჩი ჩაატარა, ჩემპიონთა ლიგაში 10-ჯერ ითამაშა, ხოლო ევროპა ლიგაში 23-ჯერ.
კვერკველიამ რუსეთის ჩემპიონატი მოსკოვის „ლოკომოტივთან“ ერთად ერთხელ მოიგო (2017-2018 წლების სეზონში), ხოლო თასს 2-ჯერ (2016-2017, 2018-2019) დაეუფლა. გარდა ამისა, მოსკოველებთან ერთად სუპერთასი ერთხელ მოიპოვა.
საქართველოს ნაკრების უკანახაზელმა რუსეთის თასი ყაზანის „რუბინის“ შემადგენლობაშიც მოიპოვა – 2011-2012 წლების სეზონში.
ის საქართველოს ეროვნულ გუნდში 2014 წლიდან ასპარეზობს და 43 მატჩი ჩაატარა.
