გიორგი პაპუნაშვილი კარიერას ქუთაისის “ტორპედოში” განაგრძობს. 26 წლის შემტევმა ნახევარმცველმა ქუთაისელებთან კონტრაქტი გააფორმა, რის შესახებ კლუბის პრესსამსახური იუწყება. ის თურქეთში შეკრებაზე მყოფ “ტორპედოს” უახლოეს მომავალში შეუერთდება.
პაპუნაშვილი ბოლო 2 სეზონი კვიპროსის “აპოლონში” ირიცხებოდა, სადაც 9 მატჩი ჩაატარა და გოლი არ გაუტანია. მან გასული წლის დეკემბერში კლუბთან კონტრაქტი გაწყვიტა.
პაპუნაშვილმა პროფესიული კარიერა თბილისის “დინამოში” დაიწყო, სადაც 81 მატჩში 29 გოლი გაიტანა. ამის შემდეგ იგი ბრემენის “ვერდერის” მეორე გუნდში გადავიდა, ხოლო 2017-2018 წლების სეზონში “სარაგოსაში” ჩაიერიცხა, რომლის შემადგენლობაში ესპანეთის ლა ლიგა 2-ში 55 მატჩი ჩაატარა და 9 გოლი გაიტანა, ხოლო თასზე ჩატარებულ 6 შეხვედრაში მეტოქეთა კარი 4-ჯერ აიღო. პაპუნაშვილი 2019-2020 წლების სეზონში იჯარით სანტანდერის “რასინგში” ირიცხებოდა, სადაც 3-ჯერ ითამაშა.
პაპუნაშვილმა საქართველოს ეროვნულ ნაკრებში 17 მატჩი ჩაატარა და 3 გოლი გაიტანა – ლიეტუვასთან, გიბრალტართან და ხორვატიასთან.
