სოლომონ კვერკველია კარიერას აზერბაიჯანის პრემიერ ლიგაში განაგრძობს. საქართველოს ეროვნული ნაკრების მცველი ბაქოშია, სადაც სამედიცინო შემომება გაიარა, რის შემდეგ ადგილობრივ „ნეფთჩისთან“ 2-წლიანი კონტრაქტი გააფორმა.
კვერკველია მიმდინარე წლის 8 აპრილს „გაგრას“ შეუერთდა და კრისტალბეთ ეროვნულ ლიგაში 12-ჯერ ითამაშა.
ის კარიერის განმავლობაში “გაგრას” გარდა, რუსეთის პრემიერ ლიგაში ყაზანის „რუბინში“, მოსკოვის „ლოკომოტივში“, ვოლგოგრადის “როტორში”, ხოლო უკრაინაში ხარკოვის “მეტალისტში” გამოდიოდა.
მან რუსეთის ჩემპიონატში და თასზე 200-ზე მეტი მატჩი ჩაატარა, ჩემპიონთა ლიგაში 10-ჯერ ითამაშა, ხოლო ევროპა ლიგაში 23-ჯერ.
კვერკველიამ რუსეთის ჩემპიონატი მოსკოვის „ლოკომოტივთან“ ერთად ერთხელ მოიგო (2017-2018 წლების სეზონში), ხოლო თასს 2-ჯერ (2016-2017, 2018-2019) დაეუფლა. გარდა ამისა, მოსკოველებთან ერთად სუპერთასი ერთხელ მოიპოვა.
საქართველოს ნაკრების უკანახაზელმა რუსეთის თასი ყაზანის „რუბინის“ შემადგენლობაშიც მოიპოვა – 2011-2012 წლების სეზონში.
ის საქართველოს ეროვნულ გუნდში 2014 წლიდან ასპარეზობს და 43 მატჩი ჩაატარა.
